常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)4

第二章  基本定理的綜合練習(xí)

本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過(guò)綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．

要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。

一、填空題

1. 方程 的任一非零解　　         與x軸相交．

2．李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的　　        　　條件．

3. 方程 + ysinx = ex的任一解的存在區(qū)間必是           ．

4．一階顯式方程解的最大存在區(qū)間一定是           ．

5．方程 滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是　　        　?。?/span>

6．方程 滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是　　        　?。?/span>

7．方程 滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是　　        　?。?/span>

8．方程 滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是　　        　?。?/span>

9．方程 滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是　　          　?。?/span>

10．一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定是             區(qū)間．

二、計(jì)算題

1．判斷下列方程在怎樣的區(qū)域上保證初值解存在且惟一？

（1）              （2）

2．討論方程 在怎樣的區(qū)域中滿足定理2.2的條件．并求通過(guò) 的一切解．

3．判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．

（1）         （2）

三、證明題

1．試證明：對(duì)于任意的 及滿足條件 的 ，方程 的解 在 上存在．

2．設(shè) 在整個(gè)平面上連續(xù)有界，對(duì) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明方程 的任一解 在區(qū)間 上有定義．

3．設(shè) 在區(qū)間 上連續(xù)．試證明方程

的所有解的存在區(qū)間必為 ．

4．在方程 中，已知 ， 在 上連續(xù)，且 ．求證：對(duì)任意 和 ，滿足初值條件 的解 的存在區(qū)間必為 ．

5．假設(shè)方程 在全平面上滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件，且 ， 是定義在區(qū)間I上的兩個(gè)解．求證：若 < ， ，則在區(qū)間I上必有  < 成立．

6．設(shè) 是方程

的非零解，其中 在 上連續(xù)．求證：當(dāng) 時(shí)，必有 ．

7．設(shè) 在 上連續(xù)可微，求證：對(duì)任意的 ， ，方程

滿足初值條件 的解必在 上存在．

8．證明：一階微分方程

的任一解的存在區(qū)間必是 ．

四、應(yīng)用題

1．求一曲線，具有如下性質(zhì)：曲線上任一點(diǎn)的切線，在 軸上的截距之和為1．

2．求一曲線，此曲線的任一切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸間的線段長(zhǎng)等于常數(shù) ．

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