福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)二
共50道題 總分：100分
一、判斷題(共37題，74分)
1.f∈BV，則f至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，而且只能有第一類間斷點(diǎn).
A、錯(cuò)誤
B、正確
2.連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)都是有界變差函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
3.零測度集的任何子集都是可測集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
4.若f,g∈BV，|g|>c>0,則f/g屬于BV。
A、錯(cuò)誤
B、正確
5.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測度。
A、錯(cuò)誤
B、正確
6.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f’∈L1[a,b].
A、錯(cuò)誤
B、正確
7.若對任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測，則f為可測函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
8.若f∈AC，則f是連續(xù)的有界變差函數(shù)，即f∈C∩BV.
A、錯(cuò)誤
B、正確
9.若f,g∈BV，則f/g(g不為0)屬于BV。
A、錯(cuò)誤
B、正確
10.利用有界變差函數(shù)可表示為兩個(gè)增函數(shù)之差，可將關(guān)于單調(diào)函數(shù)的一些結(jié)論轉(zhuǎn)移到有界變差函數(shù)：幾乎處處可微而且導(dǎo)函數(shù)可積。
A、錯(cuò)誤
B、正確
11.三大積分收斂定理是實(shí)變函數(shù)論的基本結(jié)果。
A、錯(cuò)誤
B、正確
12.設(shè)f:R->R可測，f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)=ax
A、錯(cuò)誤
B、正確
13.若f,g是增函數(shù)，則f+g,f-g,fg也是增函數(shù)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
14.一致收斂的有界變差函數(shù)序列的極限函數(shù)也是有界變差函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
15.有限覆蓋定理的內(nèi)容是：若U是R^n中緊集F的開覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.
A、錯(cuò)誤
B、正確
16.f為[a,b]上減函數(shù)，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
17.若f,g∈BV，則|f|,f+,f-,f∧g,f∨g屬于BV。
A、錯(cuò)誤
B、正確
18.L積分比R積分更廣泛，且具有優(yōu)越性。
A、錯(cuò)誤
B、正確
19.若f_n測度收斂于f，則1/f_n也測度收斂于1/f.
A、錯(cuò)誤
B、正確
20.若f∈Lip[a,b],則f∈AC[a,b].
A、錯(cuò)誤
B、正確
21.若f∈BV,則f有界。
A、錯(cuò)誤
B、正確
22.積分的引進(jìn)分為三個(gè)遞進(jìn)的步驟：非負(fù)簡單函數(shù)的積分，非負(fù)可測函數(shù)的積分，一般可測函數(shù)的積分.
A、錯(cuò)誤
B、正確
23.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
A、錯(cuò)誤
B、正確
24.f在E上可積的充要條件是級數(shù) M[E(|f|>=n)]之和收斂.
A、錯(cuò)誤
B、正確
25.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
A、錯(cuò)誤
B、正確
26.無論Riemann積分還是Lebesgue積分，只要|f|可積，則f必可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
27.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A、錯(cuò)誤
B、正確
28.絕對連續(xù)函數(shù)是一類特殊的連續(xù)有界變差函數(shù)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
29.若f廣義R可積且f不變號(hào)，則f L可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
30.三大積分收斂定理包括Levi定理，F(xiàn)atou定理和Lebesgue控制收斂定理。
A、錯(cuò)誤
B、正確
31.測度為零的集稱為零測集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
32.增函數(shù)f在[a,b]上至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，且只能有第一類間斷點(diǎn).
A、錯(cuò)誤
B、正確
33.閉集套定理的內(nèi)容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對所有k取交集非空.
A、錯(cuò)誤
B、正確
34.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
35.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復(fù)合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.
A、錯(cuò)誤
B、正確
36.積分的四條基本性質(zhì)構(gòu)成整個(gè)積分論的基礎(chǔ)，而其導(dǎo)出性質(zhì)是基本性質(zhì)的邏輯推論。
A、錯(cuò)誤
B、正確
37.若f_n與g_n分別測度收斂于f與g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,則f<=g,a.e.
A、錯(cuò)誤
B、正確
二、單選題(共5題，10分)
1.若|A|=|B|,|C|=|D|,則
A、|A∪C|=|B∪D|
B、|A∩C|=|B∩D|
C、|A\C|=|B\D|
D、當(dāng)A或C為無限集時(shí)，|A∪C|=|B∪D|
2.若A為R^n中一疏集，則（ ）
A、Ac為稠集
B、A為開集
C、A為孤立點(diǎn)集
D、A不完備
3.若f∈L(X),則
A、f在X上幾乎處處連續(xù)
B、存在g∈L(X)使得|f|<=g
C、若∫Xfdu=0,則f=0,a.e.
4.在（ ）條件下，E上的任何廣義實(shí)函數(shù)f(x)都可測.
A、mE=0
B、0<mE<+∞
C、mE=+∞
D、0<=mE<=+∞
5.開集減去閉集其差集是（ ）
A、閉集
B、開集
C、非開非閉集
D、既開既閉集
三、多選題(共8題，16分)
1.若f(x)為Lebesgue可積函數(shù)，則（ ）
A、f可測
B、|f|可積
C、f^2可積
D、|f|<∞.a.e.
2.若A 和B都是R中開集，且A是B的真子集，則（ ）
A、m(A)<m(B)
B、m(A)<=m(B)
C、m(B\A)=m(A)
D、m(B)=m(A)+m(B\A)
3.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),則f(x)在(0,+∞)上
A、廣義R可積
B、不是廣義R可積
C、L可積
D、不是L可積
4.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù)，則f為（ ）
A、幾乎處處可微
B、L可積
C、f’可積
D、區(qū)間[a,b]上積分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
5.若0<=g<=f且f可積，則（ ）
A、g可積
B、g可測
C、g<∞，a.e.
D、當(dāng)g可測時(shí)g必可積
6.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),則f(x)在(-∞，+∞)上
A、有L積分值
B、廣義R可積
C、L可積
D、積分具有絕對連續(xù)性
7.設(shè)f為[a,b]上減函數(shù)，則f為（ ）
A、有界函數(shù)
B、可測函數(shù)
C、有界變差函數(shù)
D、絕對連續(xù)函數(shù)
8.設(shè)E1，E2是R^n中測度有限的可測集，則
A、m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B、若E1包含于E2,mE1<=mE2
C、若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)二
共50道題 總分：100分
一、判斷題(共37題，74分)
1.f∈BV，則f有“標(biāo)準(zhǔn)分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負(fù)變差.
A、錯(cuò)誤
B、正確
2.增函數(shù)f在[a,b]上幾乎處處可微。
A、錯(cuò)誤
B、正確
3.設(shè)f是區(qū)間[a,b]上的有界實(shí)函數(shù)，則f在[a,b]上R可積，當(dāng)且僅當(dāng)f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
4.f為[a,b]上減函數(shù)，則f'(x)在[a,b]可積且其積分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
5.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
6.當(dāng)f在[a,b]上R可積時(shí)也必L可積，而且兩種積分值相等.
A、錯(cuò)誤
B、正確
7.若f廣義R可積且f不變號(hào)，則f L可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
8.若對任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測，則f為可測函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
9.可數(shù)集的測度必為零，反之也成立.
A、錯(cuò)誤
B、正確
10.若f有界且m(X)<∞,則f可測。
A、錯(cuò)誤
B、正確
11.三大積分收斂定理包括Levi定理，F(xiàn)atou定理和Lebesgue控制收斂定理。
A、錯(cuò)誤
B、正確
12.對任意可測集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對連續(xù)性.
A、錯(cuò)誤
B、正確
13.若F是R中一緊集(即有界閉集)且F不等于R，則F是從一閉區(qū)間中挖去可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間后所得之集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
14.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
A、錯(cuò)誤
B、正確
15.若f_n測度收斂于f，g連續(xù)，則g(f_n)也測度收斂于g(f).
A、錯(cuò)誤
B、正確
16.若f∈BV當(dāng)且僅當(dāng)f是兩個(gè)增函數(shù)之差。
A、錯(cuò)誤
B、正確
17.R中任一非空開集是可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間之并.
A、錯(cuò)誤
B、正確
18.f可積的必要條件:f幾乎處處有限，且集X(f≠0)有sigma-有限測度。
A、錯(cuò)誤
B、正確
19.一致收斂的絕對連續(xù)函數(shù)序列的極限函數(shù)也是絕對連續(xù)函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
20.L積分下Newton-leibniz公式成立的充要條件是被積函數(shù)為絕對連續(xù)函數(shù)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
21.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集為零測度集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
22.對R^n中任意點(diǎn)集E，E\E’必為可測集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
23.若f∈C1[a,b]（連續(xù)可微）,則f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A、錯(cuò)誤
B、正確
24.存在[0,1]上的有界可測函數(shù)，使它不與任何連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等．
A、錯(cuò)誤
B、正確
25.f可積的充要條件:|f|可積。
A、錯(cuò)誤
B、正確
26.不存在這樣的函數(shù)f：在區(qū)間[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
27.f∈BV，則f至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，而且只能有第一類間斷點(diǎn).
A、錯(cuò)誤
B、正確
28.若f可測，則|f|可測，反之也成立.
A、錯(cuò)誤
B、正確
29.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復(fù)合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.
A、錯(cuò)誤
B、正確
30.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù)，則存在分解f=g+h，其中g(shù)是上一個(gè)連續(xù)增函數(shù)，h是f的跳躍函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
31.有限覆蓋定理的內(nèi)容是：若U是R^n中緊集F的開覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.
A、錯(cuò)誤
B、正確
32.f∈BV，則f幾乎處處可微，且f’∈L1[a,b].
A、錯(cuò)誤
B、正確
33.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
A、錯(cuò)誤
B、正確
34.函數(shù)f≡C∈[-∞,∞],則f可測。
A、錯(cuò)誤
B、正確
35.L積分比R積分更廣泛，且具有優(yōu)越性。
A、錯(cuò)誤
B、正確
36.若f∈BV,則f有界。
A、錯(cuò)誤
B、正確
37.有界可測函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上L可積的充要條件是f在[a,b]上幾乎處處連續(xù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
二、單選題(共5題，10分)
1.若f∈L(X),則
A、f在X上幾乎處處連續(xù)
B、存在g∈L(X)使得|f|<=g
C、若∫Xfdu=0,則f=0,a.e.
2.開集減去閉集其差集是（ ）
A、閉集
B、開集
C、非開非閉集
D、既開既閉集
3.若|A|=|B|,|C|=|D|,則
A、|A∪C|=|B∪D|
B、|A∩C|=|B∩D|
C、|A\C|=|B\D|
D、當(dāng)A或C為無限集時(shí)，|A∪C|=|B∪D|
4.fn->f,a.e.,則
A、fn依測度收斂于f
B、fn幾乎一致收斂于f
C、fn一致收斂于f
D、|fn|->|f|,a.e.
5.下列關(guān)系式中不成立的是（ ）
A、f(∪Ai)=∪f(Ai)
B、f∩(Ai)=f(∩Ai)
C、(A∩B)0=A0∩B0
D、(∪Ai)c=∩(Aic)
三、多選題(共8題，16分)
1.設(shè)E為R^n中的一個(gè)不可測集，則其特征函數(shù)是
A、是L可測函數(shù)
B、不是L可測函數(shù)
C、有界函數(shù)
D、連續(xù)函數(shù)
2.若f(x)為Lebesgue可積函數(shù)，則（ ）
A、f可測
B、|f|可積
C、f^2可積
D、|f|<∞.a.e.
3.在R上定義f，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)f(x)=1，當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)f(x)=0，則（ ）
A、f在R上處處不連續(xù)
B、f在R上為可測函數(shù)
C、f幾乎處處連續(xù)
D、f不是可測函數(shù)
4.若0<=g<=f且f可積，則（ ）
A、g可積
B、g可測
C、g<∞，a.e.
D、當(dāng)g可測時(shí)g必可積
5.設(shè)fn與gn在X上分別測度收斂于f與g，則（ ）
A、fn測度收斂于|f|
B、afn+bgn測度收斂于af+bg
C、(fn)^2測度收斂于f^2
D、fngn測度收斂于fg
6.A，B是兩個(gè)集合，則下列正確的是（ ）
A、f^-1(f（A）)=A
B、f^-1(f（A）)包含A
C、f(f^-1（A）)=A
D、f(A\B)包含f(A)\f(B)
7.若f不可測，g可測，則下列正確的是（ ）
A、f+g不可測
B、fg不可測
C、g^2可測
D、|g|可測
8.若f,g是有界變差函數(shù)，則（ ）
A、f+g有界變差函數(shù)
B、fg有界變差函數(shù)
C、f/g有界變差函數(shù)
D、max(f,g)有界變差函數(shù)
福師《實(shí)變函數(shù)》在線作業(yè)二
共50道題 總分：100分
一、判斷題(共37題，74分)
1.R中任一非空開集是可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間之并.
A、錯(cuò)誤
B、正確
2.f,g∈M(X),則fg∈M(X).
A、錯(cuò)誤
B、正確
3.若f_n與g_n分別測度收斂于f與g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,則f<=g,a.e.
A、錯(cuò)誤
B、正確
4.若f可測，則|f|可測，反之也成立.
A、錯(cuò)誤
B、正確
5.閉集套定理的內(nèi)容是：{F_k}是R^n中非空有界閉集的降列，則F_k對所有k取交集非空.
A、錯(cuò)誤
B、正確
6.若f∈BV當(dāng)且僅當(dāng)f是兩個(gè)增函數(shù)之差。
A、錯(cuò)誤
B、正確
7.若f廣義R可積且f不變號(hào)，則f L可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
8.若|f|和f^2都是有界變差，則f為有界變差.
A、錯(cuò)誤
B、正確
9.若f,g∈AC，則|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不為0),f∧g,f∨g均屬于AC。
A、錯(cuò)誤
B、正確
10.函數(shù)f在[a,b]上為常數(shù)的充要條件是f在[a,b]上絕對連續(xù)且在[a,b]上幾乎處處為零.
A、錯(cuò)誤
B、正確
11.絕對連續(xù)函數(shù)是一類特殊的連續(xù)有界變差函數(shù)。
A、錯(cuò)誤
B、正確
12.可數(shù)個(gè)G_delta集之交和有限個(gè)G_delta集之并仍是G_delta集，但可數(shù)個(gè)G_delta集之并未必仍是G_delta集
A、錯(cuò)誤
B、正確
13.三大積分收斂定理是積分論的中心結(jié)果。
A、錯(cuò)誤
B、正確
14.增函數(shù)f在[a,b]上幾乎處處可微。
A、錯(cuò)誤
B、正確
15.存在某區(qū)間[a,b]上增函數(shù)f，使得f'(x)在[a,b]上積分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、錯(cuò)誤
B、正確
16.利用積分的sigma-可加性質(zhì)(第二條款)可以證明絕對收斂級數(shù)各項(xiàng)可以任意重排。
A、錯(cuò)誤
B、正確
17.若f,g∈BV，則f+g,f-g,fg均屬于BV。
A、錯(cuò)誤
B、正確
18.若f,g∈BV，|g|>c>0,則f/g屬于BV。
A、錯(cuò)誤
B、正確
19.可積的充分條件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A、錯(cuò)誤
B、正確
20.測度收斂的L可積函數(shù)列，其極限函數(shù)L可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
21.設(shè)f:R->R可測，f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)=ax
A、錯(cuò)誤
B、正確
22.f∈BV，則f至多有可數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，而且只能有第一類間斷點(diǎn).
A、錯(cuò)誤
B、正確
23.g的連續(xù)點(diǎn)是L點(diǎn)，但L點(diǎn)未必是連續(xù)點(diǎn).
A、錯(cuò)誤
B、正確
24.集合A可測等價(jià)于該集合的特征函數(shù)X_A可測
A、錯(cuò)誤
B、正確
25.可數(shù)集的測度必為零，反之也成立.
A、錯(cuò)誤
B、正確
26.若曲線L由參數(shù)方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)給定，則L為可度曲線等價(jià)于f,h,g∈BV.
A、錯(cuò)誤
B、正確
27.當(dāng)f在(0,+∞)上一致連續(xù)且L可積時(shí)，則lim_{x->+∞}f(x)=0.
A、錯(cuò)誤
B、正確
28.f∈BV，則f有“標(biāo)準(zhǔn)分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分別為f的正變差和負(fù)變差.
A、錯(cuò)誤
B、正確
29.有界可測集的測度為有限數(shù)，無界可測集的測度為+∞
A、錯(cuò)誤
B、正確
30.f可積的充要條件是f+和f-都可積.
A、錯(cuò)誤
B、正確
31.函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上Ｒ可積的充要條件是f在區(qū)間[a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)集為零測度集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
32.若對任意有理數(shù)r,X(f=r)都可測，則f為可測函數(shù).
A、錯(cuò)誤
B、正確
33.對任意可測集E，若f在E上可積，則f的積分具有絕對連續(xù)性.
A、錯(cuò)誤
B、正確
34.零測度集的任何子集都是可測集.
A、錯(cuò)誤
B、正確
35.若f_n測度收斂于f，則1/f_n也測度收斂于1/f.
A、錯(cuò)誤
B、正確
36.有限覆蓋定理的內(nèi)容是：若U是R^n中緊集F的開覆蓋，則可以從U中取出有限子覆蓋.
A、錯(cuò)誤
B、正確
37.若f有界變差且g滿足Lip條件，則復(fù)合函數(shù)g(f(x))也是有界變差.
A、錯(cuò)誤
B、正確
二、單選題(共5題，10分)
1.fn->f,a.e.,則
A、fn依測度收斂于f
B、fn幾乎一致收斂于f
C、fn一致收斂于f
D、|fn|->|f|,a.e.
2.fn∈L(E),則fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A、充分條件
B、必要條件
C、充要條件
D、非充分非必要條件
3.設(shè)g(x)是[0,1]上的有界變差函數(shù)，則f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A、連續(xù)函數(shù)
B、單調(diào)函數(shù)
C、有界變差函數(shù)
D、絕對連續(xù)函數(shù)
4.若A為R^n中一疏集，則（ ）
A、Ac為稠集
B、A為開集
C、A為孤立點(diǎn)集
D、A不完備
5.有限個(gè)可數(shù)集的乘積集是（ ）
A、有限集
B、可數(shù)集
C、有連續(xù)統(tǒng)勢的集
D、基數(shù)為2^c的集
三、多選題(共8題，16分)
1.若f∈BV[a,b]，則（ ）
A、f為有界函數(shù)
B、Vax(f)為增函數(shù)
C、對任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D、f至多有可數(shù)個(gè)第一類間斷點(diǎn)
2.設(shè)E為R^n中的一個(gè)不可測集，則其特征函數(shù)是
A、是L可測函數(shù)
B、不是L可測函數(shù)
C、有界函數(shù)
D、連續(xù)函數(shù)
3.若f∈AC[a,b]，則（ ）
A、f∈C[a,b]
B、f∈BV[a,b]
C、f(x)=f(a)+∫ax f ‘(t)dt
D、f∈Lip[a,b]
4.在R上定義f，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)f(x)=1，當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)f(x)=0，則（ ）
A、f在R上處處不連續(xù)
B、f在R上為可測函數(shù)
C、f幾乎處處連續(xù)
D、f不是可測函數(shù)
5.若f不可測，g可測，則下列正確的是（ ）
A、f+g不可測
B、fg不可測
C、g^2可測
D、|g|可測
6.設(shè)f為[a,b]上增函數(shù)，則f為（ ）
A、幾乎處處可微
B、L可積
C、f’可積
D、區(qū)間[a,b]上積分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
7.若f,g是有界變差函數(shù)，則（ ）
A、f+g有界變差函數(shù)
B、fg有界變差函數(shù)
C、f/g有界變差函數(shù)
D、max(f,g)有界變差函數(shù)
8.設(shè)f為[a,b]上減函數(shù)，則f為（ ）
A、有界函數(shù)
B、可測函數(shù)
C、有界變差函數(shù)
D、絕對連續(xù)函數(shù)
奧鵬，國開，廣開，電大在線，各省平臺(tái)，新疆一體化等平臺(tái)學(xué)習(xí)
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