常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6
第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)
本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．
要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。
一、填空題
1．若A(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組 ， 的任一非零解在 空間 與x軸相交．
2．方程組 的任何一個(gè)解的圖象是 維空間中的一條積分曲線．
3．向量函數(shù)組Y1(x), Y2(x),…,Yn(x)線性相關(guān)的 條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．
4．線性齊次微分方程組 ，的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于 個(gè)．
5．若函數(shù)組 在區(qū)間 上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式 在區(qū)間 上 ．
6．函數(shù)組 的朗斯基行列式 是 ．
7．二階方程 的等價(jià)方程組是 ．
8．若 和 是二階線性齊次方程的基本解組，則它們 共同零點(diǎn)．
9．二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解 , 成為其基本解組的充要條件是 ．
10． 階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為 個(gè)．
11．在方程y″+ p(x)y′+q(x)y = 0中，p(x), q(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上 與x軸橫截相交．
12．二階線性方程 的基本解組是 ?。?/span>
13．線性方程 的基本解組是 ．
14．方程 的所有解構(gòu)成一個(gè) 維線性空間．
15．n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè) 維線性空間．
二、計(jì)算題
1．將下列方程式化為一階方程組
（1）
（2）
2．求解下列方程組：
（1） （2）
3．求解下列方程組：
（1） （2）
4．求解下列方程組：
（1） （2）
5．已知方程 的一個(gè)解 ，求其通解．
6．試求下列n階常系數(shù)線性齊次方程的通解
（1） （2）
7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：
（1） ， ，
（2） ， ，
8．求下列n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：
（1）
（2）
三、證明題
1．設(shè) 矩陣函數(shù) ， 在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組 與 有相同的基本解組，則 ? ．
2．設(shè)在方程 中， 在區(qū)間 上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個(gè)線性無關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間 上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．
3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個(gè)線性無關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個(gè)不為零的常數(shù)．
四、應(yīng)用題
1．一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。
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