近世代數》期末考試A卷

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一、判斷題(共20分，5個小題，每小題4分）

1. 剩余類環(huán) 中沒有非零的零因子。            （   ）

2. 群中指數為2的子群一定是正規(guī)子群           （   ）

3. 已知 是有限群 的子群，  和 分別表示 和 的元素個數，則   不一定能整除                （   ）

4. 數域上的全矩陣環(huán)不是單環(huán)。                 （   ）

5. 環(huán)中理想的乘積還是理想。                   （   ）

二、計算證明題（共80分，4個小題，每小題20分）

1. 設 是整數集，規(guī)定 ，證明： 關于所定義的

  運算構成交換群

2.  在四元對稱群 中,設 .

(1) 寫出 的輪換分解式(即將 寫成一些互不相交的輪換的乘積);

(2) 設集合 , 試寫出 中全部元素(用輪換分解式表示);

3.  有一隊士兵, 三三數余二, 五五數余一, 七七數余三. 問:

這隊士兵有多少人? 試求最小正整數解. (要寫出解題過程)

4. 求出剩余類環(huán) 的所有理想和所有極大理想。